SERIES 世界を数式で描く ― 01

数学は世界を記述する言語か？映像ができる3つの経路

「物理学や数学は、世界の原理を記述する言語だ」。この直感は、出発点として正しいと思います。ただ、そのままだと少し粗い。3つの補正を加えると、CG や動画生成AI がなぜ今の形をしているのかまで見通せるようになります。

この記事で持ち帰る3行

数学が書けるのは、ものの「中身」ではなく「関係（構造）」
物理法則は、適用できる範囲つきの近似（有効理論）
書けることと、予測できることは別

直感は正しいか

精密に言い直すと、こうなります。数学は「構造（関係）」の言語であり、物理はその中から「この世界で成り立つ構造」を、あるスケールでの近似として選び出したもの。以下、3つの補正を順に見ます。

補正1：書けるのは「関係」

科学の歴史では、何が「ある」と考えるかが何度も入れ替わってきました。たとえば光は、かつて目に見えない媒質（エーテル）を伝わる波だと考えられ、その考えは後に捨てられました。ところが、そのころに作られた光の反射や屈折の式は、電磁気の理論の中にそのまま残りました。中身の説明は入れ替わっても、式の形（量と量の関係）は生き残ったのです。数学が確実に捉えているのは、ものの正体よりも、関係のほうだと考える立場があります（構造実在論）。

補正2：法則には適用範囲がある

ニュートンの力学は、光の速さよりずっと遅い世界での近似です。流体の式は、無数の分子を平均した近似です。物理学は、「この範囲なら、これで十分に正しい」という理論（有効理論）の積み重ねでできています。この考え方は、そのまま CG の近似（02）につながります。

V01-2

有効理論スライダー：ニュートンはどこまで正しいか

何を見るか同じ物体の運動エネルギーを、ニュートンの式（青）と相対性理論の式（橙）で計算し、重ねて描いています。 触ってみよう速さを光速の0.1倍、0.5倍、0.9倍と上げていき、2本の線のずれを見る。

速さ v / c

エネルギーは、静止したときのエネルギー mc² を1とした単位で表しています。「ずれ」は（相対性理論 − ニュートン）÷ ニュートンです。

数式で見る

ニュートン：K = ½ m v²　　　相対性理論：K = (γ − 1) m c²,　γ = 1 / √(1 − v²/c²)

v が c よりずっと小さいとき、(γ − 1) m c² を展開すると ½ m v² + (3/8) m v⁴ / c² + … となり、最初の項がニュートンの式です。速さが光速の1割なら、ずれは1%に届きません。

補正3：書けても予測できない

式が単純でも、長い先までは予測できないことがあります。初めの状態のわずかな違いが、時間とともに急速に大きくなる系があるからです。これをカオスと呼びます。式は完全に分かっていて、計算も正確なのに、測りきれない最初の誤差が、やがて答えを支配します。

V01-3

二重振り子：0.001ラジアンの違いが育つ

何を見るか2本の二重振り子を、最初の角度だけ 0.001 ラジアン（約0.06度）変えて、同じ式で同時に動かします。右下のグラフは2つの角度の差を、縦軸を対数にして描いたものです。 触ってみよう再生して、しばらくは重なって見える2本が、ある時から急に別の動きになるのを見る。グラフでは差がほぼ直線的に増える＝指数的に育っています。

運動方程式を4次のルンゲ＝クッタ法（刻み 0.002 秒）で解いています。腕の長さはどちらも1m、おもりはどちらも1kg、最初の角度は 120° と −10°。

なぜ数学がこれほど効くのか

それでも数学がこれほど役に立つのは、世界に対称性・局所性・なめらかさがあり、だから短く書ける（圧縮できる）からだと考えられます。代表例がネーターの定理です。「物理法則が時間によって変わらない」という対称性からエネルギーの保存が、「場所によって変わらない」という対称性から運動量の保存が、数学的に導かれます。法則の形は、世界の対称性の写しでもあるのです。

映像ができる3つの経路

ここからシリーズ全体の地図です。「世界」から「映像」を作る道は、大きく3つあります。違いは、途中で方程式を通るかどうかです。

V01-1

3経路マップ

何を見るかA と B は方程式を経由して映像を作ります。C は方程式を持たず、大量の動画の統計から映像を作ります。 触ってみようA・B・C の段を押す（Tab キーでも選べます）。具体例と、2つの性質が表示されます。

経路を選ぶと、ここに説明が出ます。

このシリーズの図や実験は、すべて経路 B で作りました。AI が JavaScript や Blender の Python を書き、計算と描画はブラウザや Blender が担っています。02は経路 A、03は経路 C を掘り下げ、04・05は経路 A を往復する実例を分解します。

用語集

構造実在論: 科学が確かに捉えているのは、ものの正体よりも、量と量の関係（構造）だとする考え方
有効理論: ある範囲（速さ・大きさ・エネルギー）でだけ十分に正しい理論。範囲の外では別の理論に置き換わる
カオス: 式が決まっていても、初めのわずかな違いが急速に育ち、長い先が予測できない振る舞い
ネーターの定理: 物理法則のもつ対称性から、保存される量が導かれることを示した定理
拡散モデル: ノイズを少しずつ取り除いて画像や動画を生成する AI の方式。03で扱う
ルンゲ＝クッタ法: 微分方程式を、1ステップの中で何度か傾きを測って精度よく進める数値解法

この記事の問い

I-1数学は発見か、発明か？数学的な対象は人と独立にあるとする立場、便利な道具とみる立場、関係（構造）こそが実在とみる立場を押さえる
I-2なぜ世界は圧縮できるのか？対称性・局所性・なめらかさ。ネーターの定理は、対称性が保存則を生むことを示した
I-3その法則はどのスケールで正しいのか？有効理論。「適用範囲つきの理論」として扱う（V01-2）
I-4書けるのに予測できないのはなぜか？カオス（初めの状態への鋭い依存）。式が分かっていても長い先は読めない（V01-3）